计算3√2021的近似值

1、※.线性穿插法计算近似值

设³√2021=x，并找与之最近的两个立方数，有：

³√1728=12,

³√2021=x,

³√2197=13,用线性穿插得：

(2021-1728)/(2197-2021)=(x-12)/(13-x)

293(13-x)=176(x-12)

469x=5921

x=5921/469≈12.6247.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=³√x，

∴dy=dx/(3*³√x²），

对于本题有：

³√2021-³√2197=(2021-2197)/(3*³√21972)

³√2021=³√2197-176/(3*132)

³√2021=13-176/507

≈12.6528.

3、³√2021=³√[2197(1-176/2197）]

=13*³√(1-176/2197）

=13*[1-176/(3*2197)]

=13-176/507

≈12.6528.

4、∵f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)²/2!+O(x3)

∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)²/2+O(x3)

其中O(x3)表示x的三次无穷小。

5、本题涉及幂函数y=f(x)=³√x,有：

f'(x)=(1/3)x-2/3,f"(x)=-(2/9)x-5/3。

即：

f(x)≈f(x0)+(1/3)x0-2/3*(x-x0)-(1/9)x0-5/3*(x-x0)²。